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一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第一，二，三册的概率为？

一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第一，二，三册的概率为？

2023年09月03日 04:03

1个回答

假设这部小说可以被排成 $n$ 册那么每册的位置可以表示为 $(i_1 i_2 i_3)$其中 $1 \le i_1 \le n$$1 \le i_2 \le n$$1 \le i_3 \le n$。
我们考虑将该小说排放在书架上的情况一共有 $C_n$ 种可能的排放方式。对于任意一种排放方式第一册的位置可以是 $(1 1 \dots 1)$第二册的位置可以是 $(i_1 i_2 \dots i_1)$第三册的位置可以是 $(i_2 i_3 \dots i_2)$。对于任意一个可能的排放方式各册自左到右或自右到左恰好为第一二三册的概率分别为 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$。因此总的概率为: $$ \begin{aligned} P &= \sum_{n=3}^4 \sum_{C_n=C_n(n)} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^3} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \\ &= \sum_{n=3}^4 \frac{1}{n} \\ &= 1 \end{aligned} $$ 因此这部小说任意排放在书架的同一层上各册自左到右或自右到左恰好为第一二三册的概率为 1。

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